Jedna z pierwszych historii, która mnie zainteresowała była związana z historykiem, ale przede wszystkim matematykiem, Józefem Flawiuszem. Podczas wojny rzymsko-żydowskiej został wraz z grupą 41 żydowskich powstańców otoczony przez Rzymian w jaskini. Powstańcy zdecydowali, że wolą popełnić samobójstwo niż oddać się do niewoli. W tym celu utworzyli krąg i mieli zabijać po kolei co trzecią osobę. Flawiusz wraz z przyjacielem byli temu przeciwni. Aby uniknąć śmierci dla siebie i przyjaciela, uczony w szybki sposób obliczył, w którym miejscu muszą obaj stanąć, aby przeżyć.
Aby w łatwy sposób wyjaśnić jak to zrobił możemy posłużyć się uproszczoną wersją, gdzie ma pozostać jedna osoba przy życiu przy eliminowaniu co drugiej osoby. Niech krąg liczy 10 osób, a odliczanie rozpoczynamy od pierwszej osoby. Otrzymujemy wówczas pierwszą eliminację liczb parzystych zatrzymując się znowu na pierwszej. Kontynuując wyliczanie odpadają kolejno 3, 7, 1 i 9 a pozostaje jedynie 5.
Fenomen tego działania polega na tym, że może być nieskończona liczba osób w kręgu, a całą operację można zapisać w postaci powtarzalnego ciągu liczbowego. Można np. narysować sobie kręgi z rosnącymi liczbami uczestników w kolejnych kręgach i ręcznie wykreślić liczby, a wyniki zapisać w tabeli. Po pewnym czasie przekonamy się, że nie trzeba rysować kolejnych kręgów z coraz większą liczbą cyfr, tylko wystarczy uzupełnić tabelę według zaobserwowanej prawidłowości.
Oznaczmy "n" jako liczbę osób w kręgu a "x" jako ostatnią osobę po eliminacji pozostającą przy życiu.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
| x | 1 | 1 | 3 | 1 | 3 | 5 | 7 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 31 |
Jak łatwo zauważyć, ciąg się powtarza według prostego schematu.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz